TATA54 Talteori

12.2.1bf, 12.2.2cd, 12.2.3c, 12.2.11

Titta på kedjebråkslabben och använd den för att göra 12.2.3df. Hitta en formel för a(k,m) = [k;k,…,k] (längd m). Vad är gränsvärdet av a(k,m) då m går mot oändligheten?

11.1.1d, 11.1.4, 11.1.25ab, 11.2.1cd, 11.2.2, 11.2.3,11.2.4

Jag stakade mig lite vid bevist för kvadratisk reciprocitet. Speciellt så oroade jag mig över om det kunde finnas gitterpunkter (x,y) med x=(p-1)/2, (q-1)/2 < y <= (q/p)x. Men det är enkelt att visa att (p-1)/2*q < (q-1)2 +1, så det går inte. Beviset håller!

Jag använde följande sagemath-kod för att hitta \((k,n)\) med sgd(k,n)=1, sgd(k-2,n) > 1, sgd(k+2,n) >1, så att Dirichlets sats garanterar oändligt många primtal i nZ + k.

def repr(n):
    return [k for k in range(n) if gcd(k,n)==1]

def isolated(n):
    rlist = repr(n)
    return [k for k in rlist if gcd(k-2,n)>1 and gcd(k+2,n)>1]


def find_isolated(N):
    for n in range(3,N):
        if len(isolated(n)) > 0:
            print(n, isolated(n))

Körning visar att n=15, k=7 är minsta exemplet.

15 [7, 8]
21 [5, 16]
30 [7, 23]
33 [13, 20]
35 [12, 23]
39 [11, 28]

Följande böcker är fritt tillgängliga på nätet. Kursboken är väldigt grundlig och täcker kursinnehållet, men det kan ändå vara bra att se olika framställningar.

• Elementary Number Theory av William Stein.
• Elementary Number Theory av Peter Hackman.
• An introduction in elementary number theory av Wissam Raji
• The Gaussian integers av Keith Conrad behandlar just Gaussiska heltal, på ett föredömligt sätt.
• Jag hänvisar till Constructing the Primitive Roots of Prime Powers av Nathan Jolly för en metod att hitta primitiva rötter.
• Kompendium om fibonaccitalen.

• BAKER. A concise introduction to the theory of numbers.
• DAVENPORT. The higher arithmetic.
• DICKSON Introduction to the theory of numbers.
• HARDY and WRIGHT. Introduction to the theory of numbers. En riktig klassiker, som även behandlar analytisk talteori. Valda avsnitt är elementära.
• IRELAND and ROSEN. A classical introduction to number theory. En lämplig fortbildning efter denna kurs.
• LEVEQUE. Topics in number theory.
• SIERPINSKY. Elementary theory of numbers.
• SILVERMAN. A friendly introduction to number theory.

Finns att läsa direkt eller som Jupyter notebook eller som webapp.

Finns att läsa direkt eller som Jupyter notebook eller som webapp.

• 2023-12-21: Gjorde klart denna nya kurshemsida.
• 2023-06-05: Jag har rättat tentan; en stor majoritet klarade sig, och det blev många fyror och femmor. Uppgift 3 var tydligen den svåraste; det finns en liknande uppgift i Rosen, 9.4.7. Resultaten blir registrerade senare i veckan.
• 2023-06-05: Talteoritentan jun 3 2023 är nu upplagd, liksom dess lösningar.
• 2023-05-08: Någon frågade om Rosen 6.1.48, här är en lösningsskiss.
  1. Skall visa att 2ⁿ ej kongruent med 1 mod n (n >= 2)
  2. Om n jämnt klart
  3. Om nu udda så n = pm med p udda heltal, låt p vara minsta sådant
  4. Antag 2ⁿ kongruent 1 mod n
  5. Då även 2ⁿ kongruent 1 mod p
  6. sgd(p-1,n)=1 ty p-1 jämnt, udda primdelare till p-1 mindre än p och alltså ej primdelare till n
  7. Har nu att 2= 2¹ = 2^(r(p-1)+sn) = (2^(p-1))^r*(2ⁿ)^s kongruent 1^r*1^s=1 mod p
  8. Använde Fermats lilla samt antagandet 2ⁿ kongruent 1 mod p
  9. Motsägelse, så antagandet var falskt.
• 2023-05-08: På fredag diskuterar vi följande uppgifter från Rosen: 13.1.3, 13.1.8, 13.2.3, 13.3.1b, 13.3.2g, 13.3.10f
• 2023-03-01: Jag har uppdaterat föreläsningen om kvadratisk reciprocitet samt fixat fel med faktorisering av heltal via lyft i föreläsningen om Hensel-lyft.
• 2023-03-01: Nästa lektion, den 7 mars, så ägnar vi första halvan åt att diskutera uppgifter om primitiva rötter. Förbered genom att titta på 9.1:2cd,6df,10 9.2: 1d,3e 9.3: 3c,5c 9.4:2b,4,9 9.6:1bcg,4de . Räkna någon uppgift från varje avsnitt i alla fall.
• 2023-02-15: Nästa lektion, den 21 feb, så har vi en laboration laboration. Tag med er någon bärbar dator, surfplatta, gigantisk utfällbar telefon eller annan uppkopplad moj. Vi får se om hela lektionen tas i anspråk för detta, eller om jag börjar att prata om kvadratisk reciprocitet.
• 2023-02-12: Specifikt så räknar vi 7.2.35, 7.4.30, 7.4.31.
• 2023-02-02: Vi räknar lite uppgifter på lektionen den 13 feb, och då från kap 7.1, 7.2, 7.4. Alla uppgifter är bra, 7.2.35 har ett tryckfel (skall vara w(d)). 7.2.38 är komplicerad och kan skippas.

• 2021-20-26: Alla klarade omtentan, trots att uppgift 5 kanske var oklar, jag menade periodLÄNGD för decimalutvecklingen, den kan beräknas utan att räkna ut hela den periodiska delen av utvecklingen. På svenska kan period användas som synonym för periodlängd…
• 2021-10-22: Talteoritentan okt 22 2021, med lösningar
• 2021-08-23: Talteoritentan aug 19 2021, med lösningar
• 2021-06-07: Tentan juni 3 2021 med lösningar.
• 2021-03-02: Korrigerade swelecture6.pdf.
• 2021-02-16: Jag lägger upp de korrigerade föreläsningsanteckningarna från dagens föreläsning även här på kurshemsidan, har redan lagt in dem i TEAMS. Jag kommer att successivt uppdatera föreläsningsanteckningarna (och lägga in de allra sista, Gaussiska heltal ej översatt än).
• 2021-02-16: Enligt studenters schema är det föreläsning den 23 feb och den 2 mars, enligt mitt schema inte: räkna med att det faktiskt blir föreläsning då om inget annat sägs här.
• 2021-02-16: Tentadatumet den 3 juni kolliderade med en optimeringstenta; vi försöker ändra.
• 2021-02-08: Kombinationen av OBS Studio, obs.ninja, och OBS-VirtualCam gör det möjligt att använda sin mobiltelefon som webcam i TEAMS. Gör din röst hörd och visa upp din väna nuna i nästa möte!
• 2021-02-08: Föreläsningarna 1,2,3,ALG,4 på kurshemsidan är nu korrigerade och extra korrekta.
• 2021-01-08: Jag har skapat ett TEAM och bjudit in de studenter jag hittade i LADOK. Om du har anmält dig till kursen, men inte fått någon inbjudan, så mejla mig.

• 2020-12-12: Kursen kommer att ges VT2021, med start den 19e januari. Jag planerar att

  • Undervisa på svenska
  • Hålla onlineföreläsningar direkt, snarare än att ha förinspelade sådana
  • Ha något slags forum, förmodligen i Teams, där ni kan diskutera uppgifter från kursboken
  • Låt varje student hålla en liten miniföreläsning om något (ej centralt) kursavsnitt, till exempel RSA-kryptering, system av linjära Diofantiska ekvationer, periodicitet för decimalutveckling… Det kommer att ge en liten bonus på tentan.

  För närvarande håller jag på med att modifiera föreläsningarna och översätta dem till svenska. Det blir inga större förändringar mot tidigare år.

• 2020-06-05: Solutions to the exam on June 4 are now available.
• 2020-06-02: More information on the exam. You should receive an e-mail with information on Wiseflow, the tool used to collect the exams. If not, the procedure to send your exam is a s follows:
  1. Produce a pdf file
  2. log in to europe.wiseflow.net
  3. click log in then edugain
  4. use your student id
  5. proceed with prudence and caution
• 2020-05-27: There will be an exam 2020-06-04. It will be a remote/digital exam, performed in line with the instructions here. For this particular exam, it is allowed to consult your textbook during the exam. You may not use a computer, or receive external help. If there is something unclear with the exercises on the exam, call me at for clarification. If you have problems with Wiseflow, the system for collating the electronic files for the exam, contact someone else (perhaps Helena Larsson ).

• 2019-11-01: The course will not be given spring 2020.
• 2019-11-01: Solutions to the exam on November 1 are now available.
• 2019-06-05: Solutions to the exam on June 4 are now available.

• 2018-06-08: Solutions to the exam on June 7 are now available.
• 2018-03-13: Solutions to the exam on March 12 are now available.

• 2017-08-28: Solutions to the exam on Saturday 26 are now available.
• 2017-06-09: Solutions to yesterday’s exam are now available.
• 2017-03-14: Solutions to yesterday’s exam are now available.
• 2017-01-31: According to Bokakademin the textbook might not be available until next week; as a stop-gap measure you might consult An introduction in elementary number theory by Wissam Raji, which I found on the internets and which I have reason to believe is made freely available for the public. The treatment of primitive roots, the next topic in the course, is very similar to that in Rosen. Another text is Elementary Number Theory av William Stein.